Lekcja 5. Sprowadzanie do wspólnego mianownika

Po co jest ta lekcja

Do tej pory nauczyliśmy się skracać i rozszerzać ułamki.

Teraz użyjemy tej umiejętności w bardzo konkretnym celu: chcemy zapisać dwa lub więcej ułamków tak, żeby miały ten sam mianownik.

To jest konieczne przed:

• dodawaniem ułamków o różnych mianownikach
• odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach
• porównywaniem niektórych ułamków w wygodniejszej postaci

Co znaczy wspólny mianownik

Spójrz na dwa ułamki:

$$ \frac{1}{2} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4} $$

Nie mają tego samego mianownika, więc jeden opisuje połówki, a drugi ćwiartki.

Żeby łatwo je porównywać albo dodawać, dobrze jest zapisać oba w tych samych częściach tej samej wielkości.

Najprościej tu wybrać mianownik $4$, bo:

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $$

Wtedy mamy:

$$ \frac{2}{4} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{3}{4} $$

To właśnie jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.

Jak znaleźć wspólny mianownik

Szukamy liczby, która jest wielokrotnością obu mianowników.

Przykład:

$$ \frac{2}{3} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6} $$

Wspólnym mianownikiem może być $6$, bo:

• $6$ jest wielokrotnością $3$
• $6$ jest też wielokrotnością $6$

Rozszerzamy więc tylko pierwszy ułamek:

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

A drugi zostaje bez zmian:

$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $$

Otrzymujemy:

$$ \frac{4}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{1}{6} $$

Gdy trzeba rozszerzyć oba ułamki

Weźmy teraz:

$$ \frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3} $$

Tutaj wspólnym mianownikiem może być $6$.

Rozszerzamy oba ułamki:

$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $$

oraz

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Zatem:

$$ \frac{1}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{2}{3} $$

po sprowadzeniu do wspólnego mianownika dają:

$$ \frac{3}{6} \qquad \text{i} \qquad \frac{4}{6} $$

Najmniejszy wspólny mianownik

W praktyce najwygodniej wybierać najmniejszy wspólny mianownik, bo wtedy obliczenia są prostsze.

Dla mianowników $4$ i $6$ wspólne wielokrotności to:

• $12$
• $24$
• $36$

Najmniejsza z nich to $12$, więc to najlepszy wybór.

Przykład:

$$ \frac{1}{4} \qquad \text{i} \qquad \frac{5}{6} $$

Sprowadzamy do mianownika $12$:

$$ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} $$

oraz

$$ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} $$

Jak myśleć o tym sensownie

Wspólny mianownik nie jest nową liczbą „znikąd”.

To tylko wygodny sposób przepisania tych samych wartości tak, aby wszystkie były wyrażone w tych samych częściach.

Można to czytać tak:

• zamiast połówek i trzecich chcemy mówić jednym językiem, na przykład szóstkami
• zamiast ćwiartek i szóstek chcemy mówić dwunastkami

Typowe błędy

• zmienianie mianownika bez odpowiedniej zmiany licznika
• wybieranie liczby, która nie jest wspólną wielokrotnością obu mianowników
• rozszerzanie tylko jednego z ułamków, gdy oba tego wymagają
• mylenie wspólnego mianownika ze wspólnym licznikiem

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• rozpoznać, czy dwa ułamki mają już wspólny mianownik
• sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika
• dobrać najmniejszy wspólny mianownik w prostych przykładach
• wyjaśnić, dlaczego po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wartość ułamka się nie zmienia