Lekcja 1. Ułamek jako część całości

Po co jest ta lekcja

Ta lekcja buduje najważniejszą intuicję: ułamek nie jest na początku "trudnym działaniem", tylko opisem części pewnej całości.

Zanim zaczniemy dodawać, odejmować albo mnożyć ułamki, trzeba naprawdę rozumieć, co oznaczają zapisane liczby.

Jak czytać ułamek

Ułamek zwykły zapisujemy na przykład tak:

$$ \frac{1}{2} $$

Taki zapis czytamy jako "jedna druga" albo "jedna druga całości".

Inne przykłady:

• $\frac{1}{3}$ to jedna z trzech równych części
• $\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części
• $\frac{5}{8}$ to pięć z ośmiu równych części

Co oznacza mianownik, a co licznik

W ułamku:

$$ \frac{3}{5} $$

mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość.

Licznik mówi, ile z tych części bierzemy.

Czyli w $\frac{3}{5}$:

• $5$ oznacza pięć równych części całej figury albo całego odcinka
• $3$ oznacza, że bierzemy trzy takie części

Ułamek na rysunku i na osi

Ułamek można rozumieć na dwa podstawowe sposoby:

• jako część figury, na przykład pokolorowane kawałki prostokąta
• jako punkt na osi liczbowej między $0$ a $1$

Przykład:

$$ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1 $$

Jeśli odcinek od $0$ do $1$ podzielimy na cztery równe części, to:

• pierwszy punkt to $\frac{1}{4}$
• drugi punkt to $\frac{2}{4}$
• trzeci punkt to $\frac{3}{4}$
• cały odcinek daje $1$

Ten sam ułamek można zobaczyć na kilka sposobów

Poniżej ten sam pomysł pokazujemy trzema modelami.

Najpierw jako część prostokąta:

Teraz jako część koła, na przykład pizzy:

I wreszcie jako punkt na osi liczbowej:

Ten sam pomysł można też pokazać na bardziej matematycznej planszy:

Gdy mianownik jest większy, jedna część jest mniejsza

To bardzo ważna intuicja:

Pomyśl o dwóch takich samych pizzach.

W pierwszej pizzę dzielimy na $4$ równe kawałki, a w drugiej na $8$ równych kawałków.

Jedna część z pierwszej pizzy to $\frac{1}{4}$, a jedna część z drugiej to $\frac{1}{8}$.

Dlatego:

$$ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} $$

Mimo że w mianowniku stoi większa liczba, sam kawałek jest mniejszy, bo całość została podzielona na więcej równych części.

Jedna całość też da się zapisać jako ułamek

To bardzo ważny moment przed kolejnymi lekcjami.

Jedną całość można zapisać na wiele sposobów:

$$ 1 = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{4}{4} $$

To dlatego, że w każdym z tych przypadków bierzemy wszystkie równe części danej całości.

Ta obserwacja będzie później potrzebna przy rozszerzaniu ułamków i wspólnym mianowniku.

Typowe błędy

• patrzenie tylko na licznik i ignorowanie mianownika
• myślenie, że większy mianownik zawsze oznacza większy ułamek
• traktowanie ułamka jak dwóch osobnych liczb zamiast jednej liczby opisującej część całości

Przykład błędu:

$\frac{1}{8}$ nie jest większe od $\frac{1}{4}$, mimo że $8$ jest większe od $4$.

Gdy mianownik rośnie, jedna część staje się mniejsza, bo całość została podzielona na więcej równych kawałków.

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• wskazać licznik i mianownik
• przeczytać prosty ułamek
• powiedzieć, co oznacza na rysunku zapis $\frac{3}{4}$
• rozpoznać, że $\frac{4}{4}$ oznacza jedną całość