Lekcja 7. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Po co jest ta lekcja

W poprzedniej lekcji dodawaliśmy i odejmowaliśmy ułamki, które już miały ten sam mianownik.

Teraz przechodzimy do trudniejszego, ale bardzo ważnego wariantu: mianowniki są różne.

To jest dokładnie ten moment, w którym łączą się dwie wcześniejsze umiejętności:

• sprowadzanie do wspólnego mianownika
• dodawanie i odejmowanie liczników

Dlaczego nie można liczyć od razu

Spójrz na przykład:

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $$

Pierwszy ułamek opisuje połówki, a drugi trzecie części.

To nie są te same kawałki całości, więc nie można od razu dodać liczników.

Najpierw oba ułamki trzeba zapisać w tych samych częściach.

Krok 1. Znajdź wspólny mianownik

Dla mianowników $2$ i $3$ wygodnym wspólnym mianownikiem jest $6$.

Przepisujemy ułamki:

$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \qquad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $$

Teraz możemy liczyć:

$$ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $$

Pełny schemat dodawania

Gdy mianowniki są różne, działamy tak:

1. znajdujemy wspólny mianownik 2. sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika 3. dodajemy liczniki 4. zostawiamy wspólny mianownik 5. na końcu sprawdzamy, czy wynik można skrócić

Przykład:

$$ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} $$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem dla $4$ i $6$ jest $12$.

$$ \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \qquad \frac{1}{6} = \frac{2}{12} $$

Teraz dodajemy:

$$ \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} $$

Odejmowanie działa prawie tak samo

Spójrz na przykład:

$$ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} $$

Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$.

Sprowadzamy:

$$ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} $$

Teraz odejmujemy liczniki:

$$ \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} $$

Schemat jest więc bardzo podobny:

1. wspólny mianownik 2. przepisanie ułamków 3. odejmowanie liczników 4. sprawdzenie, czy wynik można skrócić

Gdy jeden mianownik pasuje od razu

Czasem nie trzeba zmieniać obu ułamków.

Przykład:

$$ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} $$

Wspólny mianownik to $6$.

Pierwszy ułamek zmieniamy:

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Drugi już ma mianownik $6$, więc zostaje bez zmian:

$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $$

I dopiero teraz liczymy:

$$ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$

Gdy wynik trzeba skrócić

Po obliczeniu nie zawsze kończymy od razu.

Przykład:

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $$

więc:

$$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

Tu wynik jest już prosty.

Ale w innym przykładzie:

$$ \frac{1}{6} + \frac{1}{3} $$

otrzymamy:

$$ \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

To pokazuje, że na końcu zawsze warto sprawdzić skracanie.

Najczęstsze błędy

• dodawanie liczników bez sprowadzenia do wspólnego mianownika
• odejmowanie liczników bez sprowadzenia do wspólnego mianownika
• wybieranie liczby, która nie jest wspólną wielokrotnością obu mianowników
• zmiana mianownika bez odpowiedniej zmiany licznika
• brak skrócenia wyniku końcowego

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• dodać dwa ułamki o różnych mianownikach
• odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach
• wybrać sensowny wspólny mianownik
• rozpoznać, czy trzeba zmienić oba ułamki czy tylko jeden
• skrócić wynik końcowy, jeśli to możliwe