Lekcja 8. Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych

Po co jest ta lekcja

Liczby mieszane pojawiają się bardzo często w trudniejszych zadaniach na ułamkach.

Uczeń nie powinien znać tylko jednego mechanicznego algorytmu.

W praktyce warto umieć wybrać wygodniejszą strategię:

• czasem lepiej rozdzielić część całkowitą i ułamkową
• czasem bezpieczniej od razu zamienić wszystko na ułamki niewłaściwe

Przypomnienie: czym jest liczba mieszana

Liczba mieszana składa się z:

• części całkowitej
• części ułamkowej

Na przykład:

$$ 2\frac{3}{5} $$

oznacza:

$$ 2 + \frac{3}{5} $$

To bardzo ważne, bo właśnie na tym opiera się pierwsza strategia liczenia.

Strategia 1. Rozdziel część całkowitą i ułamkową

Spójrz na przykład:

$$ 2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} $$

Możemy policzyć osobno:

• części całkowite: $2 + 3 = 5$
• części ułamkowe: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Zatem:

$$ 2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} = 5\frac{3}{5} $$

To jest bardzo wygodne, gdy ułamkowe części mają już ten sam mianownik albo łatwo je dodać.

Gdy z dodawania powstaje dodatkowa całość

Spójrz na taki przykład:

$$ 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{4} $$

Najpierw liczymy osobno:

• część całkowitą: $1 + 2 = 3$
• część ułamkową: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$

Otrzymujemy:

$$ 3 + \frac{5}{4} $$

Ale:

$$ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $$

czyli:

$$ 3 + \frac{5}{4} = 4\frac{1}{4} $$

To pokazuje, że po dodawaniu części ułamkowych może pojawić się jeszcze jedna pełna całość.

Strategia 2. Zamień na ułamki niewłaściwe

Czasem tak jest po prostu bezpieczniej.

Spójrz na przykład:

$$ 1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{6} $$

Zmieniamy obie liczby mieszane:

$$ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \qquad 2\frac{1}{6} = \frac{13}{6} $$

Teraz sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$ \frac{7}{4} = \frac{21}{12} \qquad \frac{13}{6} = \frac{26}{12} $$

Dodajemy:

$$ \frac{21}{12} + \frac{26}{12} = \frac{47}{12} $$

Na końcu wracamy do liczby mieszanej:

$$ \frac{47}{12} = 3\frac{11}{12} $$

Czyli:

$$ 1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{6} = 3\frac{11}{12} $$

Odejmowanie bez pożyczania

Najprostszy wariant wygląda tak:

$$ 5\frac{3}{7} - 2\frac{1}{7} $$

Liczymy osobno:

• część całkowitą: $5 - 2 = 3$
• część ułamkową: $\frac{3}{7} - \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$

Zatem:

$$ 5\frac{3}{7} - 2\frac{1}{7} = 3\frac{2}{7} $$

Odejmowanie z pożyczaniem

Trudniejszy przypadek pojawia się wtedy, gdy część ułamkowa w pierwszej liczbie jest za mała.

Przykład:

$$ 4\frac{1}{6} - 2\frac{5}{6} $$

Nie da się wygodnie odjąć:

$$ \frac{1}{6} - \frac{5}{6} $$

więc pożyczamy jedną całość z liczby $4$.

Jedna całość to:

$$ \frac{6}{6} $$

Zatem:

$$ 4\frac{1}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 3\frac{7}{6} $$

Teraz można liczyć:

• część całkowitą: $3 - 2 = 1$
• część ułamkową: $\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ostatecznie:

$$ 4\frac{1}{6} - 2\frac{5}{6} = 1\frac{1}{3} $$

Kiedy lepiej wybrać którą strategię

Rozdzielanie części całkowitej i ułamkowej jest dobre, gdy:

• mianowniki są już takie same
• ułamkowe części są proste do policzenia
• nie pojawia się skomplikowane pożyczanie

Zamiana na ułamki niewłaściwe jest często bezpieczniejsza, gdy:

• mianowniki są różne
• w odejmowaniu trzeba pożyczać
• przykład jest dłuższy i łatwo się pogubić

Typowe błędy

• traktowanie liczby mieszanej jak iloczynu, a nie jak sumy części całkowitej i ułamkowej
• brak zamiany dodatkowej całości po dodaniu części ułamkowych
• błąd przy pożyczaniu jednej całości w odejmowaniu
• zostawianie wyniku w postaci nieskróconej
• niepotrzebne mieszanie dwóch strategii w połowie przykładu

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• dodać proste liczby mieszane
• odjąć liczby mieszane bez pożyczania
• odjąć liczby mieszane z pożyczaniem
• zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, gdy to wygodniejsze
• świadomie wybrać jedną z dwóch strategii liczenia