Lekcja 9. Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Po co jest ta lekcja

Zanim zaczniemy mnożyć ułamki przez ułamki, warto dobrze zrozumieć prostszy przypadek:

• liczba naturalna razy ułamek
• ułamek razy liczba naturalna

To jest bardzo dobry pomost między intuicją „ile razy bierzemy tę samą część” a pełnym algorytmem mnożenia.

Co oznacza takie mnożenie

Spójrz na przykład:

$$ 3 \cdot \frac{2}{5} $$

To znaczy:

$$ \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} $$

Czyli bierzemy trzy razy ten sam ułamek.

Skoro dodajemy trzy razy po dwie piąte, otrzymujemy:

$$ 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} $$

Dlaczego mnożymy tylko licznik

W wyrażeniu:

$$ 4 \cdot \frac{3}{7} $$

cały czas liczymy siódme części.

Nie zmienia się rodzaj części, więc mianownik zostaje taki sam.

Zmienia się tylko liczba tych części:

$$ 4 \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{7} $$

Można to zapamiętać tak:

$$ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} $$

Ułamek razy liczba naturalna

Teraz podobny przykład:

$$ \frac{3}{8} \cdot 5 $$

Wynik jest taki sam jak w zapisie:

$$ 5 \cdot \frac{3}{8} $$

czyli:

$$ \frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{15}{8} $$

To dlatego, że w mnożeniu kolejność czynników nie zmienia wyniku.

Gdy wynik jest ułamkiem niewłaściwym

Spójrz na przykład:

$$ 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} $$

To poprawny wynik, ale często warto zapisać go jeszcze jako liczbę mieszaną:

$$ \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$

Czyli:

$$ 2 \cdot \frac{4}{3} = 2\frac{2}{3} $$

Gdy wynik można skrócić

Przykład:

$$ 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9} $$

Ten wynik da się skrócić:

$$ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$

Zatem:

$$ 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{3} $$

Intuicja na przykładzie praktycznym

Wyobraź sobie, że jedna porcja ciasta to:

$$ \frac{1}{4} $$

blachy.

Jeśli masz $3$ takie porcje, to masz:

$$ 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

całej blachy.

To dobrze pokazuje sens mnożenia ułamka przez liczbę naturalną: powtarzamy tę samą część kilka razy.

Typowe błędy

• mnożenie jednocześnie licznika i mianownika przez liczbę naturalną
• zostawianie nieskróconego wyniku
• brak zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną, gdy jest to wygodne
• mylenie mnożenia z dodawaniem bez zrozumienia, że chodzi o wielokrotne dodawanie tego samego ułamka

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• obliczyć liczbę naturalną razy ułamek
• obliczyć ułamek razy liczbę naturalną
• wyjaśnić, dlaczego mianownik zostaje bez zmian
• skrócić wynik końcowy
• zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, gdy to potrzebne