Lekcja 3. Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe i odwrotnie

Po co jest ta lekcja

W poprzedniej lekcji zobaczyliśmy, że liczba mieszana i ułamek niewłaściwy mogą opisywać tę samą wartość.

Teraz uczymy się przechodzić świadomie z jednego zapisu do drugiego.

To jest bardzo ważne, bo:

• przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych zwykle wygodniej pracować na ułamkach niewłaściwych
• po obliczeniach często warto wrócić do liczby mieszanej, żeby wynik był czytelniejszy

Z liczby mieszanej do ułamka niewłaściwego

Spójrz na przykład:

$$ 2\frac{1}{3} $$

To znaczy:

• $2$ pełne całości
• oraz jeszcze $\frac{1}{3}$

Każda całość to w tym zapisie $\frac{3}{3}$.

Więc dwie całe to:

$$ 2 = \frac{6}{3} $$

Po dodaniu jeszcze $\frac{1}{3}$ dostajemy:

$$ 2\frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $$

Krótki algorytm

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

• pomnóż część całkowitą przez mianownik
• dodaj licznik
• otrzymany wynik wpisz jako nowy licznik
• mianownik zostaje ten sam

Przykład:

$$ 3\frac{2}{5} $$

Liczymy:

• $3 \cdot 5 = 15$
• $15 + 2 = 17$

Zatem:

$$ 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} $$

Dlaczego ten algorytm działa

To nie jest sztuczka do zapamiętania bez sensu.

On wynika z rozumienia liczby mieszanej:

$$ a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c} $$

Jeśli część całkowitą $a$ zapiszemy w mianowniku $c$, dostajemy:

$$ a = \frac{a \cdot c}{c} $$

więc:

$$ a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c} $$

To właśnie daje regułę:

$$ a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c} $$

Z ułamka niewłaściwego do liczby mieszanej

Teraz w drugą stronę.

Weźmy:

$$ \frac{11}{4} $$

Pytamy: ile pełnych całości mieści się w $11$ ćwiartkach?

Ponieważ:

$$ 11 : 4 = 2 \text{ reszty } 3 $$

to:

• część całkowita wynosi $2$
• reszta $3$ staje się licznikiem
• mianownik pozostaje $4$

Zatem:

$$ \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} $$

Krótki algorytm w drugą stronę

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:

• podziel licznik przez mianownik
• iloraz wpisz jako część całkowitą
• resztę wpisz jako licznik
• mianownik zostaje ten sam

Przykład:

$$ \frac{14}{3} $$

Liczymy:

• $14 : 3 = 4$ reszty $2$

więc:

$$ \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$

Kiedy wynik zostaje liczbą całkowitą

Nie każdy ułamek niewłaściwy daje liczbę mieszaną z częścią ułamkową.

Jeśli dzielenie wychodzi bez reszty, otrzymujemy po prostu liczbę całkowitą.

Przykład:

$$ \frac{12}{4} = 3 $$

Nie zapisujemy wtedy:

$$ 3\frac{0}{4} $$

bo część ułamkowa nic już nie wnosi.

Typowe błędy

• dodawanie mianownika do licznika zamiast mnożenia części całkowitej przez mianownik
• zmienianie mianownika podczas zamiany liczby mieszanej
• wpisywanie reszty z dzielenia jako nowego mianownika
• zostawianie wyniku w postaci $3\frac{0}{4}$ zamiast $3$

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy
• zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną
• rozpoznać, kiedy wynik jest po prostu liczbą całkowitą
• wyjaśnić, dlaczego mianownik przy tych zamianach się nie zmienia