Lekcja 4. Skracanie i rozszerzanie ułamków

Po co jest ta lekcja

W poprzednich lekcjach nauczyliśmy się rozpoznawać różne typy ułamków i zamieniać liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

Teraz potrzebujemy kolejnej kompetencji: zauważyć, że ten sam ułamek można zapisać na kilka równoważnych sposobów.

To właśnie pozwala później:

• sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika
• upraszczać wynik po obliczeniach
• szybciej dostrzegać, czy dwie liczby opisują tę samą wartość

Co znaczy, że ułamki są równoważne

Spójrz na zapis:

$$ \frac{1}{2} $$

Jeśli każdą połówkę podzielimy jeszcze raz na dwie równe części, otrzymamy:

$$ \frac{2}{4} $$

Oba zapisy oznaczają dokładnie tę samą część całości.

Tak samo:

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} $$

To są ułamki równoważne.

Najłatwiej zobaczyć to na tej samej długości paska, tylko podzielonej na inną liczbę równych części.

Rozszerzanie ułamka

Rozszerzanie polega na tym, że mnożymy:

• licznik
• i mianownik

przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład:

$$ \frac{3}{5} $$

Jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez $2$, dostaniemy:

$$ \frac{3}{5} = \frac{6}{10} $$

Jeśli pomnożymy przez $3$, dostaniemy:

$$ \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $$

Wartość się nie zmienia, bo tak naprawdę mnożymy przez:

$$ \frac{2}{2} = 1 \qquad \text{albo} \qquad \frac{3}{3} = 1 $$

A mnożenie przez $1$ nie zmienia liczby.

Skracanie ułamka

Skracanie jest działaniem odwrotnym do rozszerzania.

Dzielimy:

• licznik
• i mianownik

przez tę samą liczbę większą od $1$, jeśli oba są przez nią podzielne.

Przykład:

$$ \frac{12}{18} $$

Licznik i mianownik są podzielne przez $2$, więc:

$$ \frac{12}{18} = \frac{6}{9} $$

Ale to jeszcze nie jest koniec, bo $6$ i $9$ są nadal podzielne przez $3$:

$$ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$

Zatem:

$$ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$

Kiedy ułamek jest skrócony do końca

Ułamek jest zapisany w najprostszej postaci wtedy, gdy licznik i mianownik nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$.

Przykład:

$$ \frac{2}{3} $$

Tego ułamka nie da się już skrócić, bo $2$ i $3$ nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

Jak rozpoznawać możliwość skracania

Najczęściej warto najpierw sprawdzić:

• czy oba liczby są parzyste
• czy suma cyfr wskazuje podzielność przez $3$
• czy kończą się na $0$ albo $5$, gdy sprawdzamy podzielność przez $5$

Przykład:

$$ \frac{15}{20} $$

Widać od razu, że obie liczby są podzielne przez $5$, więc:

$$ \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $$

Dlaczego to będzie potrzebne później

Skracanie i rozszerzanie to nie osobny "trik", tylko narzędzie.

Za chwilę będzie potrzebne do wspólnego mianownika.

Na przykład:

$$ \frac{1}{2} \quad \text{i} \quad \frac{3}{4} $$

żeby porównać albo dodać, wygodnie jest zapisać:

$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $$

Właśnie dlatego rozszerzanie jest tak ważne.

Typowe błędy

• mnożenie tylko licznika albo tylko mianownika
• skracanie przez liczby, przez które jedna z części nie jest podzielna
• przekonanie, że większe liczby w liczniku i mianowniku oznaczają "większy ułamek"
• skracanie przez różne liczby w liczniku i mianowniku

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• rozpoznać ułamki równoważne
• rozszerzyć ułamek przez podaną liczbę
• skrócić ułamek do najprostszej postaci
• wyjaśnić, dlaczego wartość ułamka nie zmienia się przy skracaniu i rozszerzaniu