Lekcja 12. Odwrotność liczby i dzielenie ułamków zwykłych

Po co jest ta lekcja

Dzielenie ułamków wygląda na początku bardziej tajemniczo niż dodawanie czy mnożenie.

Dlatego warto najpierw zrozumieć jedną kluczową ideę:

• czym jest liczba odwrotna
• dlaczego w dzieleniu zamieniamy dzielenie na mnożenie

To będzie potem podstawą także do dzielenia liczb mieszanych.

Co to jest liczba odwrotna

Liczbą odwrotną do:

$$ \frac{a}{b} $$

jest:

$$ \frac{b}{a} $$

czyli po prostu zamieniamy miejscami licznik i mianownik.

Przykłady:

$$ \frac{3}{5} \rightarrow \frac{5}{3} $$

$$ \frac{7}{2} \rightarrow \frac{2}{7} $$

Liczba odwrotna ma tę ważną własność, że:

$$ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1 $$

Liczba naturalna też ma odwrotność

Na przykład liczba:

$$ 4 $$

może być zapisana jako:

$$ \frac{4}{1} $$

Jej liczba odwrotna to:

$$ \frac{1}{4} $$

To ważne, bo czasem w dzieleniu pojawi się liczba całkowita.

Najważniejsza zasada dzielenia ułamków

Gdy dzielimy przez ułamek, zamieniamy to na mnożenie przez jego odwrotność.

Czyli:

$$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$

To jest najważniejszy wzór tej lekcji.

Najprostszy przykład

Spójrz na:

$$ \frac{2}{3} : \frac{5}{7} $$

Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} $$

Teraz liczymy jak zwykłe mnożenie ułamków:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15} $$

Dlaczego odwracamy drugi ułamek

To bardzo ważne: odwracamy tylko dzielnik, czyli drugi ułamek.

W wyrażeniu:

$$ \frac{3}{4} : \frac{2}{5} $$

nie zmieniamy pierwszego ułamka.

Zmieniamy tylko ten, przez który dzielimy:

$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} $$

Potem liczymy:

$$ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $$

Gdy można skrócić przed mnożeniem

Spójrz na przykład:

$$ \frac{4}{9} : \frac{2}{3} $$

Najpierw zamieniamy:

$$ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} $$

Teraz widać skracanie:

• $4$ i $2$ można skrócić przez $2$
• $3$ i $9$ można skrócić przez $3$

Otrzymujemy:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3} $$

Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną

Przykład:

$$ \frac{3}{4} : 2 $$

Liczbę $2$ zapisujemy jako:

$$ \frac{2}{1} $$

Zmieniamy dzielenie na mnożenie:

$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} $$

Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek

Przykład:

$$ 2 : \frac{3}{5} $$

Najpierw zapisujemy:

$$ 2 = \frac{2}{1} $$

Potem:

$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $$

Typowe błędy

• odwracanie pierwszego ułamka zamiast drugiego
• odwracanie obu ułamków
• zostawianie dzielenia i jednoczesne mnożenie liczników i mianowników
• brak skrócenia wyniku końcowego
• zapominanie, że liczba naturalna to też ułamek z mianownikiem $1$

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• znaleźć liczbę odwrotną do ułamka i liczby naturalnej
• zamienić dzielenie ułamków na mnożenie przez odwrotność
• poprawnie odwrócić tylko drugi ułamek
• obliczyć wynik i zapisać go w najprostszej postaci
• rozpoznać typowe błędy w dzieleniu ułamków