Lekcja 13. Dzielenie liczb mieszanych

Po co jest ta lekcja

W zadaniach trudniejszych bardzo często dzielimy nie zwykłe ułamki, ale liczby mieszane.

To wygląda groźnie, ale w praktyce dalej opieramy się na tej samej zasadzie co wcześniej:

• zamieniamy zapis na wygodniejszy
• odwracamy tylko dzielnik
• potem liczymy jak mnożenie ułamków

Najważniejsza zasada

Liczb mieszanych nie dzielimy bezpośrednio w ich pierwotnym zapisie.

Najpierw każdą liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

Dopiero potem stosujemy regułę:

$$ \text{dzielenie} = \text{mnożenie przez odwrotność dzielnika} $$

Krok 1. Zamień liczby mieszane

Spójrz na przykład:

$$ 2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6} $$

Zamieniamy:

$$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \qquad 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6} $$

Teraz mamy:

$$ \frac{7}{3} : \frac{7}{6} $$

Krok 2. Odwróć tylko dzielnik

Zamieniamy dzielenie na mnożenie:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} $$

Teraz można skrócić:

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{1} $$

czyli:

$$ \frac{6}{3} = 2 $$

Ostatecznie:

$$ 2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6} = 2 $$

Pełny algorytm

Przy dzieleniu liczb mieszanych działamy tak:

1. zamieniamy wszystkie liczby mieszane na ułamki niewłaściwe 2. zostawiamy pierwszy ułamek bez zmian 3. drugi ułamek odwracamy 4. zamieniamy dzielenie na mnożenie 5. jeśli da się, skracamy 6. obliczamy wynik 7. w razie potrzeby wracamy do liczby mieszanej

Przykład z wynikiem mieszanym

Spójrz na:

$$ 3\frac{1}{2} : 1\frac{2}{5} $$

Zamieniamy:

$$ 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \qquad 1\frac{2}{5} = \frac{7}{5} $$

Teraz:

$$ \frac{7}{2} : \frac{7}{5} = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{7} $$

Skracamy:

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{2} $$

Wracamy do liczby mieszanej:

$$ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $$

Czyli:

$$ 3\frac{1}{2} : 1\frac{2}{5} = 2\frac{1}{2} $$

Przykład bez wygodnego skracania na początku

Spójrz na:

$$ 4\frac{1}{4} : 1\frac{1}{2} $$

Zamieniamy:

$$ 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4} \qquad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Teraz:

$$ \frac{17}{4} : \frac{3}{2} = \frac{17}{4} \cdot \frac{2}{3} $$

Skracamy $2$ z $4$:

$$ \frac{17}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{17}{6} $$

A potem:

$$ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $$

Dlaczego nie wolno odwracać wszystkiego

To bardzo częsty błąd.

W wyrażeniu:

$$ 2\frac{1}{4} : 1\frac{1}{2} $$

po zamianie na ułamki mamy:

$$ \frac{9}{4} : \frac{3}{2} $$

Odwracamy tylko dzielnik:

$$ \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} $$

Nie wolno robić tak:

$$ \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{3} $$

bo pierwszy ułamek nie jest dzielnikiem.

Typowe błędy

• pomijanie zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
• odwracanie pierwszego ułamka zamiast drugiego
• odwracanie obu ułamków
• brak skrócenia lub błędne skracanie
• pozostawienie wyniku w postaci nieskróconej, gdy można go uprościć

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe przed dzieleniem
• poprawnie wskazać dzielnik i odwrócić tylko jego
• zamienić dzielenie na mnożenie
• zastosować skracanie w odpowiednim momencie
• zapisać wynik końcowy jako liczbę mieszaną, gdy to potrzebne