Lekcja 14. Kolejność wykonywania działań z ułamkami

Po co jest ta lekcja

Do tej pory uczyliśmy się pojedynczych działań:

• dodawania
• odejmowania
• mnożenia
• dzielenia

Teraz trzeba nauczyć się jeszcze jednej rzeczy: w jakiej kolejności te działania wykonywać, gdy pojawiają się razem w jednym wyrażeniu.

Bez tego nawet poprawne rachunki mogą dać zły wynik.

Najważniejsza zasada

W wyrażeniach z ułamkami obowiązuje ta sama kolejność działań jak w innych rachunkach:

1. najpierw nawiasy 2. potem mnożenie i dzielenie 3. na końcu dodawanie i odejmowanie

To jest fundament całej tej lekcji.

Gdy w wyrażeniu jest nawias

Spójrz na przykład:

$$ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{5} $$

Najpierw trzeba policzyć nawias:

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $$

Dopiero potem mnożymy:

$$ \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} $$

Czyli:

$$ \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2} $$

Mnożenie przed dodawaniem

Spójrz na wyrażenie:

$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} $$

Nie wolno najpierw dodawać:

$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} $$

Najpierw trzeba wykonać mnożenie:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

Teraz całe wyrażenie ma postać:

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$

Dzielenie przed odejmowaniem

Podobnie działa to w takim przykładzie:

$$ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} : \frac{2}{3} $$

Najpierw dzielenie:

$$ \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} $$

Teraz zostaje:

$$ \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Działania równorzędne liczymy od lewej do prawej

To bardzo ważny punkt.

Mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet.

Dodawanie i odejmowanie też mają ten sam priorytet.

Jeśli więc w wyrażeniu są tylko działania równorzędne, liczymy od lewej do prawej.

Przykład:

$$ \frac{3}{4} : \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} $$

Najpierw liczymy od lewej:

$$ \frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2} $$

A dopiero potem:

$$ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1 $$

Nie wolno samodzielnie zmieniać tej kolejności bez uzasadnienia.

Tak samo z dodawaniem i odejmowaniem

Spójrz na:

$$ \frac{7}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} $$

Najpierw liczymy od lewej:

$$ \frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$

A dopiero potem:

$$ \frac{5}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} + \frac{4}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $$

Jak dobrze zacząć dłuższy przykład

Zanim zaczniesz liczyć, warto spojrzeć na wyrażenie i zaznaczyć:

• czy są nawiasy
• gdzie występuje mnożenie lub dzielenie
• które fragmenty można policzyć od razu

Przykład:

$$ \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{5}\right) \cdot \frac{3}{2} $$

Najpierw nawias:

$$ \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $$

Potem mnożenie:

$$ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5} $$

Na końcu dodawanie:

$$ \frac{1}{3} + \frac{3}{5} = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{14}{15} $$

Typowe błędy

• dodawanie lub odejmowanie przed wykonaniem mnożenia albo dzielenia
• ignorowanie nawiasu
• złe rozumienie zasady „od lewej do prawej” przy działaniach równorzędnych
• próba liczenia wszystkiego naraz bez rozpisania kroków

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• wskazać pierwszy krok w wyrażeniu z kilkoma działaniami
• poprawnie liczyć nawiasy przed resztą działań
• wykonać mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem
• liczyć działania równorzędne od lewej do prawej
• rozwiązać krótkie wyrażenie z ułamkami w poprawnej kolejności