Lekcja 15. Wyrażenia wielodziałaniowe z liczbami mieszanymi

Po co jest ta lekcja

Uczeń zna już osobno:

• dodawanie i odejmowanie ułamków
• mnożenie i dzielenie
• liczby mieszane
• kolejność wykonywania działań

Teraz trzeba połączyć te umiejętności w dłuższych przykładach.

To jest ostatni etap przed zadaniami docelowymi.

Najważniejsza strategia

W długim przykładzie nie zaczynamy od liczenia „na oślep”.

Najpierw:

1. wskazujemy pierwszy krok zgodny z kolejnością działań 2. rozpisujemy tylko ten krok 3. upraszczamy wynik 4. dopiero potem przechodzimy dalej

To bardzo zmniejsza ryzyko błędów.

Przykład 1. Najpierw mnożenie

Spójrz na wyrażenie:

$$ 1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} $$

Najpierw wykonujemy mnożenie:

$$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} $$

więc:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = 1 $$

Całe wyrażenie przyjmuje postać:

$$ 1\frac{1}{2} + 1 = 2\frac{1}{2} $$

To dobry przykład pokazujący, że czasem najtrudniejsza część upraszcza się bardzo mocno.

Przykład 2. Najpierw dzielenie

Spójrz na:

$$ 3\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Najpierw dzielenie:

$$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Zatem:

$$ \frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2 $$

Teraz całe wyrażenie ma postać:

$$ 3\frac{1}{4} - 2 = 1\frac{1}{4} $$

Przykład 3. Najpierw nawias

Spójrz na:

$$ \left(2\frac{1}{5} - \frac{3}{5}\right) \cdot \frac{5}{8} $$

Najpierw nawias.

W zapisie mieszanym:

$$ 2\frac{1}{5} - \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5} $$

Możemy też zapisać to jako ułamek niewłaściwy:

$$ 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5} $$

Teraz mnożymy:

$$ \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = 1 $$

Czyli:

$$ \left(2\frac{1}{5} - \frac{3}{5}\right) \cdot \frac{5}{8} = 1 $$

Przykład 4. Dłuższe wyrażenie bez nawiasu

Spójrz na:

$$ 1\frac{2}{3} + \frac{1}{6} \cdot 3 - \frac{1}{2} $$

Najpierw mnożenie:

$$ \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Teraz wyrażenie ma postać:

$$ 1\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $$

Działania równorzędne liczymy od lewej do prawej:

$$ 1\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = \frac{10}{6} + \frac{3}{6} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} $$

Potem:

$$ 2\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{13}{6} - \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$

Jak wybierać wygodną postać w środku rozwiązania

W długich przykładach nie trzeba wszystkiego za każdym razem trzymać w jednej formie.

Czasem wygodniej:

• chwilowo zostawić liczbę mieszaną
• czasem zamienić ją na ułamek niewłaściwy
• czasem od razu skrócić wynik pośredni

Najważniejsze, żeby w danym kroku zapis był bezpieczny i czytelny.

Dobra praktyka jest taka:

• przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych zwykle zamieniamy je na ułamki niewłaściwe
• przy prostym dodawaniu lub odejmowaniu czasem wygodniej zostać przy liczbach mieszanych

Typowe błędy

• wykonywanie dodawania lub odejmowania przed mnożeniem albo dzieleniem
• gubienie nawiasów
• przeskakiwanie kilku kroków naraz
• zamienianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy w jednym miejscu, a w innym zapominanie o tej samej zasadzie
• brak uproszczenia wyniku pośredniego, przez co dalsze rachunki stają się nieczytelne

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• wskazać pierwszy krok w dłuższym wyrażeniu z liczbami mieszanymi
• poprawnie łączyć wcześniejsze algorytmy w jednym przykładzie
• wybierać wygodną postać zapisu pośredniego
• przeprowadzić rozwiązanie krok po kroku bez łamania kolejności działań
• kontrolować sensowność wyniku pośredniego i końcowego