Lekcja 10. Mnożenie ułamków zwykłych

Po co jest ta lekcja

W poprzedniej lekcji mnożyliśmy ułamek przez liczbę naturalną.

Teraz robimy kolejny krok: oba czynniki są ułamkami.

To bardzo ważna umiejętność, bo później będzie potrzebna:

• przy mnożeniu liczb mieszanych
• przy dzieleniu ułamków
• w wyrażeniach wielodziałaniowych

Główny algorytm

Spójrz na przykład:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} $$

W mnożeniu ułamków:

• licznik mnożymy przez licznik
• mianownik mnożymy przez mianownik

Czyli:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} $$

Można to zapisać ogólnie:

$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

Dlaczego ten algorytm ma sens

Można o tym myśleć tak:

• najpierw bierzemy jakąś część całości
• potem bierzemy część z tej części

To powoduje, że wynik zwykle staje się jeszcze mniejszy.

Na przykład:

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

Połowa z jednej trzeciej to jedna szósta.

To dobry intuicyjny przykład, który pokazuje, że wynik mnożenia dwóch ułamków właściwych jest często mniejszy od obu czynników.

Najprostszy przykład

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} $$

Liczymy:

$$ \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} $$

Na końcu skracamy:

$$ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$

Czyli:

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} $$

Skracanie po mnożeniu

W wielu przykładach najpierw liczymy iloczyny, a potem upraszczamy wynik.

Przykład:

$$ \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} $$

Najpierw liczymy:

$$ \frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45} $$

Potem skracamy:

$$ \frac{30}{45} = \frac{2}{3} $$

Skracanie przed mnożeniem

To bardzo wygodna technika, bo pozwala uniknąć dużych liczb.

Spójrz na ten sam przykład:

$$ \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} $$

Możemy najpierw skrócić:

• $3$ z $9$, bo obie liczby dzielą się przez $3$
• $10$ z $5$, bo obie liczby dzielą się przez $5$

Otrzymujemy:

$$ \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} $$

czyli od razu:

$$ \frac{2}{3} $$

To nazywamy skracaniem krzyżowym przed mnożeniem.

Kiedy wynik jest większy od 1

Nie zawsze wynik mnożenia ułamków jest mały.

Przykład:

$$ \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} $$

Liczymy:

$$ \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2 $$

To pokazuje, że jeśli wśród czynników są ułamki niewłaściwe, wynik może być równy liczbie całkowitej albo od niej większy.

Kiedy warto od razu zauważyć skracanie

Przykład:

$$ \frac{6}{7} \cdot \frac{14}{15} $$

Zamiast mnożyć od razu:

• $14$ i $7$ można skrócić przez $7$
• $6$ i $15$ można skrócić przez $3$

Dostajemy:

$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} $$

To dużo wygodniejsze niż liczenie:

$$ \frac{84}{105} $$

a dopiero potem skracanie.

Typowe błędy

• dodawanie liczników i mianowników zamiast ich mnożenia
• mnożenie poprawne, ale bez skrócenia wyniku
• błędne skracanie liczb, które nie są w liczniku i mianowniku
• skracanie po jednej stronie bez zachowania równoważności działania

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• pomnożyć dwa ułamki zwykłe
• zapisać wynik w najprostszej postaci
• zastosować skracanie po mnożeniu
• zastosować skracanie przed mnożeniem
• rozpoznać, kiedy wynik może być równy liczbie całkowitej albo większy od $1$