Lekcja 11. Mnożenie liczb mieszanych

Po co jest ta lekcja

W zadaniach egzaminowych bardzo często nie mnoży się samych „czystych” ułamków, tylko liczby mieszane.

Dlatego trzeba umieć przejść od zapisu:

$$ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} $$

do takiej postaci, którą da się policzyć pewnym algorytmem.

Najważniejsza zasada

Liczb mieszanych nie mnożymy od razu w ich pierwotnym zapisie.

Najpierw każdą liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

Dopiero potem stosujemy zwykłe mnożenie ułamków.

Krok 1. Zamień liczby mieszane

Spójrz na przykład:

$$ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} $$

Zamieniamy każdą liczbę mieszaną:

$$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \qquad 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $$

Teraz przykład ma postać:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} $$

Krok 2. Pomnóż jak zwykłe ułamki

Liczymy:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{49}{12} $$

Wynik jest poprawny, ale wygodniej zapisać go jeszcze jako liczbę mieszaną:

$$ \frac{49}{12} = 4\frac{1}{12} $$

Czyli:

$$ 2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} = 4\frac{1}{12} $$

Pełny algorytm

Przy mnożeniu liczb mieszanych działamy tak:

1. zamieniamy każdą liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy 2. jeśli da się, skracamy przed mnożeniem 3. mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik 4. upraszczamy wynik 5. jeśli trzeba, wracamy do liczby mieszanej

Przykład ze skracaniem przed mnożeniem

Spójrz na przykład:

$$ 1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} $$

Zamieniamy:

$$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \qquad 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} $$

Mamy więc:

$$ \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} $$

Tutaj nie ma wygodnego skracania krzyżowego, więc liczymy wprost:

$$ \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 4} = \frac{27}{8} $$

Wracamy do liczby mieszanej:

$$ \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} $$

Czyli:

$$ 1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{8} $$

Przykład, w którym skracanie bardzo pomaga

Spójrz na przykład:

$$ 3\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{5} $$

Zamieniamy:

$$ 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \qquad 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} $$

Teraz mamy:

$$ \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{5} $$

Możemy skrócić $6$ z $2$:

$$ \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{5} $$

Teraz liczymy:

$$ \frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} $$

Dlaczego nie warto mieszać metod

Czasem uczniowie próbują:

• zostawić jedną liczbę w zapisie mieszanym
• drugą zamienić na ułamek niewłaściwy
• potem liczyć „na skróty”

To prawie zawsze prowadzi do błędów.

Najbezpieczniej jest przyjąć jedną zasadę:

Typowe błędy

• mnożenie części całkowitych i ułamkowych osobno bez uzasadnienia
• pomijanie zamiany na ułamki niewłaściwe
• błędy w samej zamianie liczby mieszanej
• brak skrócenia przed albo po mnożeniu
• pozostawienie końcowego wyniku w postaci nieskróconej

Mini-checkpoint po lekcji

Po tej lekcji uczeń powinien umieć:

• zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe przed mnożeniem
• pomnożyć otrzymane ułamki
• zastosować skracanie, jeśli jest możliwe
• wrócić z wyniku do liczby mieszanej
• rozpoznać typowe błędy w mnożeniu liczb mieszanych